第１０回：ブラック・ショールズによるオプション価格決定

今回は金融業界の人なら誰もが一度耳にしたことのあるブラックショールズのオプション価格について。

端的にいうと、コールとプットをブラックさんとショールズさんが定式化したということ。どのように定式化したかというと、こんな感じ

って感じ

この時、

, 

どうやってこの式を導いたかって？

こんな感じ。

ひたすら微積とときたま熱伝導方程式とフーリエ展開をすればなんとかなるはず。（てかなんとかなった）

もちろん、その場で導けって言われたら少なくとも常人には無理ゲーな気もする。数学科や物理科ならわんちゃんあるけど、それでもきついはず笑

ってことで式の導き方よりも式の意味についてしっかり考える方が大事ということでそっちに重点を。

まず初めにこのブラックショールズ偏微分方程式によって導かれたオプション価格式についてだが、大きな前提が３つある。

1つ目はオプションの対象とする株に配当がないこと

2つ目はオプション取引期間中の分散が一定であること

3つ目はリスクフリーレートがオプション取引期間中に一定であることである

現実としてはリスクフリーレートや分散が一定あることがほとんどないため多少ずれる（配当についても同様）。

とりわけ分散についてはオプション価格からブラックショールズ式に当てはめて示唆される分散を計算（implied volitility）してそこからオプション価格が適正かどうか逆算する手法もある。

次に式そのものの意味についてだが、これはわりとそのまま

C = N(d1)*S - X*e^-rt *N(d2)　から始めると、

当然株価と比例してコールオプションは高くなる。どれくらいの割合で高くなるかっていうとN(d1)。これはまさしくコールオプションが途中で行使される確率を示している。

またX*e^-rtはオプションを行使することによって株を買える値段の現在価値を示している。

極端の例としてコールオプションが行使されないケース、つまりN(d1)=0ならばコールの価値は０となる。逆に途中で行使される場合、コールの価値は株価Ｓが行使価格Ｘを上回った分の価値となる。

プットの場合、均衡式を用いることでコールと逆の結果が得られる。